Løs økse ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Svar:

En hurtig skitse …

Forklaring:

Givet:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # med #a! = 0 #

Dette bliver rodet ganske hurtigt, så jeg vil bare give en skitse af en metode …

Multipliceres med # 256a ^ 3 # og erstatning #t = (4ax + b) # for at få en deprimeret monic quartic af formularen:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Bemærk at siden dette ikke har noget udtryk i # T ^ 3 #, det skal være faktor i formularen:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (hvid) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Ligning af koefficienter og omlægning af lidt har vi:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):}

Så finder vi:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (hvid) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (hvid) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplicere ud, multiplicere med # A ^ 2 # og omlægning lidt, bliver dette:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Denne "kubiske i # A ^ 2 #"har mindst en rigtig rod. Ideelt set har den en positiv reel rod, der giver to mulige reelle værdier for #EN#. Uanset hvad vil enhver rod af den kubiske gøre.

I betragtning af værdien af #EN#, vi har:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A)

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A)

Derfor får vi to kvadrater at løse.