Svar:
Jeg tror ikke, at ligningen er gyldig. Jeg antager #abs (z) # er den absolutte værdi funktion
Forklaring:
Prøv med to vilkår, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Derfor
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Måske mener du trekantens ulighed for komplekse tal:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Vi kan forkorte dette
# | sum z_i | le sum | z_i | #
hvor beløbene er #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # tekst {Re} (z) le | z | #
Den virkelige del er aldrig større end størrelsen. Lade # Z = x + iy # for nogle rigtige #x# og # Y #. Klart # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # og tager firkantede rødder # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Størrelsen er altid positiv; #x# kan eller ikke være; På den ene side er det aldrig mere end størrelsen.
Jeg vil bruge overlinjen for konjugat. Her har vi et reelt tal, den kvadratiske størrelsesorden, som svarer til konjugatets produkt.Tricket er, at det svarer til sin egen virkelige del. Den reelle del af summen er summen af de rigtige dele.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = tekst {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Ved vores lemma, og størrelsen af produktet er produktet af størrelser, og størrelsen af konjugater er ens,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Vi kan annullere en faktor af størrelsen af summen # | sum z_i | #, hvilket er positivt, bevarer uligheden.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Det var det, vi ønskede at bevise.
