Hvad er kvadratroden af 543?

Svar:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Forklaring:

Den primære faktorisering af #543# er:

#543 = 3 * 181#

Da den ikke har nogen firkantede faktorer større end #1#, kvadratroden af #543# kan ikke forenkles.

Det er et irrationelt tal mellem # 23 = sqrt (529) # og # 24 = sqrt 576 #.

Lineær interpolering, vi kan tilnærme:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23,3 #

For mere nøjagtighed, lad # p_0 / q_0 = 233/10 # og iterere ved hjælp af formlerne:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):}

Så:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):}

Bare denne ene iteration er tilstrækkelig til at få #7# (næsten #8#) signifikante cifre:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Hvis vi vil have mere nøjagtighed, skal vi bare gentage det igen.

Fodnote

Den nøjagtige gentagende fortsatte fraktion for #sqrt (543) # er:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

hvorfra det er muligt at finde løsningen af Pell's ligning:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

hvilket gør #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # en meget effektiv tilnærmelse.