Mars har en gennemsnitlig overfladetemperatur på ca. 200K. Pluto har en gennemsnitlig overfladetemperatur på ca. 40K. Hvilken planet udsender mere energi pr. Kvadratmeter overfladeareal pr. Sekund? Af en faktor hvor meget?

Svar:

Mars udsender #625# gange mere energi per enhed overfladeareal end Pluto gør.

Forklaring:

Det er indlysende, at en varmere genstand vil udlede mere sort kropsstråling. Således ved vi allerede, at Mars vil udlede mere energi end Pluto. Det eneste spørgsmål er, hvor meget.

Dette problem kræver vurdering af energien af den sorte kropsstråling, der udsendes af begge planeter. Denne energi beskrives som en funktion af temperaturen og frekvensen udsendes:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1)

Integrering over frekvens giver den totale effekt pr. Arealareal som en funktion af temperatur:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3)

(bemærk at ovenstående ligning bruger # Barh #, den reducerede Plancks konstante, snarere end # H #. Det er svært at læse i Socratic's notation)

Løsning for forholdet mellem de to, så er resultatet utrolig simpelt. Hvis # T_p # er Plutos temperatur og # T_m # er Mars 'temperatur så faktor #en# kan beregnes med:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / annullere (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / annullere (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # gange så meget