Radierne af to koncentriske cirkler er 16 cm og 10 cm. AB er en diameter af den større cirkel. BD er tangent til den mindre cirkel, der rører den ved D. Hvad er længden af AD?

Svar:

#bar (AD) = 23,5797 #

Forklaring:

Vedtagelse af oprindelsen #(0,0)# som det fælles center for # C_i # og # C_e # og ringer # R_i = 10 # og # R_e = 16 # tangentpunktet # P_0 = (x_0, y_0) # er ved krydset #C_i nn C_0 # hvor

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

her # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Løsning for #C_i nn C_0 # vi har

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Subtraherer den første fra den anden ligning

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # så

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # og # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Endelig er den ønskede afstand

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

eller

#bar (AD) = 23,5797 #

Forklaring:

Hvis #bar (BD) # er tangent til # C_i # derefter #hat (ODB) = pi / 2 # så vi kan anvende pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # bestemmelse # R_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Pointen # D # koordinater, kaldet # (X_0, y_0) # bør opnås inden beregning af den ønskede afstand #bar (AD) #

Der er mange måder at gøre. En alternativ metode er

# Y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) # men #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

derefter

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # og

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Som angivet data er ovenstående figur tegnet.

O er det fælles centrum af to koncentriske cirkler

#AB -> "diameteren af den større cirkel" #

# AO = OB -> "radius af den større cirkel" = 16 cm #

#DO -> "Den lille cirkels radius" = 10cm #

#BD -> "tangent til den mindre cirkel" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Lade # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

I #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Anvendelse af cosinus lov i # Del ADO # vi får

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2ao * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2ao * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #