Hvad er rækkevidden af en kvadratisk funktion?

Svar:

Sortimentet af #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # er:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "hvis" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "hvis" a <0):}

Forklaring:

Givet en kvadratisk funktion:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # med #a! = 0 #

Vi kan afslutte pladsen for at finde:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

For reelle værdier af #x# den kvadrede sigt # (X + b / (2a)) ^ 2 # er ikke-negativ, idet den tager minimumsværdien #0# hvornår #x = -b / (2a) #.

Derefter:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Hvis #a> 0 # så er dette den mindste mulige værdi af #F (x) # og rækkevidden af #F (x) # er # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Hvis #a <0 # så er dette den maksimale mulige værdi af #F (x) # og rækkevidden af #F (x) # er # (- oo, c-b2 / / 4a) #

En anden måde at se på dette er at lade #y = f (x) # og se om der er en løsning til #x# med hensyn til # Y #.

Givet:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Trække fra # Y # fra begge sider for at finde:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminanten # Delta # af denne kvadratiske ligning er:

# Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

For at få virkelige løsninger, kræver vi #Delta> = 0 # også:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Tilføje # 4ac-b ^ 2 # til begge sider for at finde:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Hvis #a> 0 # så kan vi simpelthen dele begge sider forbi # 4a # at få:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Hvis #a <0 # så kan vi dele begge sider forbi # 4a # og vend uligheden for at få:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #