Hvad er projektionen af (3i + 2j - 6k) på (3i - 4j + 4k)?

Svar:

Vektorprojektionen er #< -69/41,92/41,-92/41 >#, den skalære fremspring er # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Forklaring:

Givet # VECA = (3i + 2j-6k) # og # vecb = (3i-4j + 4k) #, kan vi finde #proj_ (vecb) VECA #, det vektor fremskrivning af # VECA # på # Vecb # ved hjælp af følgende formel:

#proj_ (vecb) VECA = ((VECA * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet af de to vektorer divideret med størrelsen af # Vecb #, ganget med # Vecb # divideret med dens størrelse. Den anden mængde er en vektormængde, da vi deler en vektor af en skalær. Bemærk at vi deler # Vecb # af dens størrelse for at opnå en enhedsvektor (vektor med størrelsen af #1#). Du kan bemærke, at den første mængde er skalar, da vi ved, at når vi tager prikken på to vektorer, er den resulterende en skalær.

Derfor er skalar fremskrivning af #en# på # B # er #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) VECA | #.

Vi kan begynde med at tage prikken med de to vektorer, som kan skrives som # veca = <3,2, -6> # og # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3,4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Så kan vi finde størrelsen af # Vecb # ved at tage kvadratroden af summen af kvadraterne af hver af komponenterne.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Og nu har vi alt, hvad vi har brug for for at finde vektorprojektionen af # VECA # på # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Du kan distribuere koefficienten til hver komponent af vektoren og skrive som:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Den skalære fremspring af # VECA # på # Vecb # er kun den første halvdel af formlen, hvor #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #. Derfor er den skalære fremspring # -23 / sqrt (41) #, som ikke forenkler yderligere, udover at rationalisere nævneren, hvis det ønskes, at give # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Håber det hjælper!