Hvordan bevise at serien er konvergerende?

Svar:

Konvergerer ved direkte sammenligningstest.

Forklaring:

Vi kan bruge Direct Comparison Test, så vidt vi har

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9 k ^ 2) #, IE, serien starter ved en.

For at bruge direkte sammenligningstest skal vi bevise det # A_k = cos (1 / k) / (9 k ^ 2) # er positiv på # 1, oo) #.

Først bemærk det på intervallet # 1, oo), cos (1 / k) # er positiv. For værdier af #x # Cosx # er i den første kvadrant (og derfor positiv). Nå for # k> = 1, 1 / k så, #cos (1 / k) # er virkelig positiv.

Desuden kan vi sige #cos (1 / k) <= 1 #, som #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Derefter kan vi definere en ny sekvens

# B_k = 1 / (9 k ^ 2)> = a_k # for alle # K. #

Godt, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9 k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Vi kender denne konvergerer af # P #serie test, det er i form # Sum1 / k ^ p # hvor # P = 2> 1 #.

Derefter må de mindre serier, da de større serier konvergerer.

Svar:

Den konvergerer ved direkte sammenligningstest (se nedenfor for detaljer).

Forklaring:

Anerkend at rækkevidden af cosinus er -1,1. Tjek grafen for #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Som du kan se, er maksimum Værdi dette vil opnå vil være 1. Da vi bare forsøger at bevise konvergens her, lad os sætte tælleren til 1 og forlader:

# Sum1 / (9 k ^ 2) #

Nu bliver dette et meget simpelt direkte sammenligningstestproblem. Husk hvad den direkte sammenligningstest gør:

Overvej en vilkårlig serie # A_n # (vi ved ikke, om det konvergerer / afviger), og en serie, som vi kender til konvergens / divergens, # B_n #:

Hvis #b_n> a_n # og # B_n # Konvergerer, så # A_n # Konvergerer også.

Hvis #b_n <a_n # og # B_n # divergerer derefter # A_n # også divergerer.

Vi kan sammenligne denne funktion med #b_n = 1 / k ^ 2 #. Vi kan gøre dette, fordi vi ved, at det konvergerer (på grund af p-testen).

Så siden # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, og # 1 / k ^ 2 # konvergerer, kan vi sige at serier konvergerer

Men vent, vi har kun bevist, at denne serie konvergerer, når tælleren = 1. Hvad med alle de andre værdier #cos (1 / k) # kunne tage? Nå, husk at 1 er maksimum værdi, som tælleren kunne tage. Så da vi har bevist, at dette konvergerer, har vi indirekte bevist, at denne serie har konvergeret for enhver værdi i tælleren.

Håber det hjalp:)