Hvad er kvadratroden af sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))

Svar:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

forudsat mindst to af følgende hold:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Forklaring:

Noter det:

# (X ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# farve (rød) (annuller (farve (sort) (x ^ 2))) - farve (rød) (annuller (farve (sort) (x ^ 2))) + farve) (y ^ 2))) - farve (lilla) (annullere (farve (sort) (y ^ 2))) + farve (violet) (annullere (farve (sort) (z ^ 2))) - farve (violet) (annuller (farve (sort) (z ^ 2))) = 0 #

Så lad os se, hvad der sker, når vi firkant:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

som de kvadrede vilkår vil annullere …

# (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = Farve (rød) (annullere (farve (sort) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Så kvadratroden vi ønsker er:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#COLOR (hvid) () #

Noter

Ovenstående svar antager mere eller mindre, at:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Mens dette holder fast, hvis mindst en af #a, b # er ikke-negativ, det mislykkes, hvis begge er negative.

Dette kan ske i ovenstående afledning, hvis for eksempel:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Så finder vi:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… det modsatte tegn fra det, vi har brug for.