Produktet af tre på hinanden følgende ulige heltal er -6783. Hvordan skriver du og løser en ligning for at finde numrene?

Svar:

#-21,-19,-17#

Forklaring:

Dette problem kan løses ved at bruge noget smukt algebra.

Problemet er effektivt # A * b * c = -6783 # løse for #a, b, # og # C #. Men vi kan omskrive # B # og # C # med hensyn til #en#. Det gør vi ved at tænke på, hvilke på hinanden følgende ulige tal er.

For eksempel, #1, 3,# og #5# er 3 på hinanden følgende ulige tal, forskellen mellem #1# og #3# er #2#, og forskellen mellem #5# og #1# er #4#. Så hvis vi skriver det i form af #1#, tallene ville være #1, 1+2,# og #1+4#.

Lad os nu bringe det tilbage til variabler og sætte det i form af #en#. # B # ville bare være lige # A + 2 # at være det næste ulige nummer, og nummeret derpå # C #, ville bare være lige # A + 4 #. Så nu kan vi tilslutte dette til # A * b * c = -6783 # og lad os løse.

# (A) (a + 2) (a + 4) = - 6783 #

# (A ^ 2 + 2a) (a + 4) = - 6783 #

# A ^ 3 + 4a ^ 2 + 2a ^ 2 + 8a = -6783 #

# A ^ 3 + 6a ^ 2 + 8a + 6783 = 0 #

Nu herfra går jeg til grafen og kigger efter mulige værdier for #en#. Dysen af dette er at tegne # A ^ 3 + 6a ^ 2 + 8a + 6783 # og find hvor ligningen er lig med #0#.

graf {x ^ 3 + 6x ^ 2 + 8x + 6783 -207,8, 207,7, -108,3, 108,3}

Som du kan se er det en temmelig stor graf, så jeg kun vil vise den meningsfulde del, skæringspunktet. Her kan vi se, at grafen skærer på #a = -21 #, kan du selv klikke på grafen for at finde den.

Så hvis -21 er vores startnummer, vil vores følgende tal være -19 og -17. Lad os teste skal vi?

#-21*-19=399#

#399*-17=-6783#

Fremragende!

Nu på forskning for at sikre, at jeg gjorde dette en god måde, fandt jeg faktisk et trick på denne hjemmeside var et kort lille trick, som nogen fandt. Hvis du tager kubens rod af produktet og rund nummeret til nærmeste heltal, finder du det mellemste nummer. Kubens rod af #-6783# er #-18.929563765# hvilke runder til #-19#. Hej, det er det midterste nummer, vi fandt rigtigt?

Nu om det trick, er jeg ikke helt sikker på, hvor pålidelig det er under alle omstændigheder, men hvis du har en lommeregner (som med denne algebra jeg håber du gør), kan du bruge den til at tjekke.

Svar:

Hvis du behøver ikke at vise specifikt algebraisk arbejde (og især hvis du kan bruge en regnemaskine (tænk SAT)), er dette særlige problem godt til en snigende genvej.

Forklaring:

Da der er tre ukendte værdier, der er på hinanden følgende odds og dermed alle meget tæt på hinanden …

Hvad er kubens rod af #6783#? (Brug regnemaskine.) Ca. #18.92956…# Det nærmeste ulige nummer til det er #19#, og dens nærmeste ulige naboer er #17# og #21#. Så prøv de tre og se hvad der sker. #17*19*21=6783#. Pæn.

Åh, men vi ønskede #-6783#, så gør det #-17#, #-19#, og #-21#. Færdig.