Radius af en cirkel indskrevet i en ligesidet trekant er 2. Hvad er omkredsen af trekanten?

Svar:

Perimeter svarer til # 12sqrt (3) #

Forklaring:

Der er mange måder at løse dette problem på.

Her er en af dem.

Midt i en cirkel indskrevet i en trekant ligger på skæringspunktet af sine vinkels bisektorer. For ligesidet trekant er dette det samme punkt, hvor dets højder og medianer skærer også.

Enhver median er delt med et skæringspunkt med andre medianer i forhold #1:2#. Derfor er median-, højde- og vinkel bisektorerne af en ligesidet trekant lig med

#2+2+2 = 6#

Nu kan vi bruge Pythagoras sætning til at finde en side af denne trekant, hvis vi kender dens højde / median / vinkel bisektor.

Hvis en side er #x#, fra pythagoras sætning

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Fra dette:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Perimeter svarer til tre sådanne sider:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Svar:

Perimeter svarer til # 12sqrt (3) #

Forklaring:

Alternativ metode er nedenfor.

Antag, vores ligesidede trekant er # Del ABC # og det er centrum for en indskrevet cirkel # O #.

Tegn en median / height.angle bisector fra vertex #EN# gennem punkt # O # indtil den krydser siden # BC # på punkt # M #. Naturligvis, # OM = 2 #.

Overvej trekant # Del OBM #.

Det er ret siden #OM_ | _BM #.

Vinkel # / _ OBM = 30 ^ o # siden # BO # er en vinkel bisector af # / _ ABC #.

Side # BM # er halvdelen af siden # BC # siden #ER# er en median.

Nu kan vi finde # OB # som en hypotenuse i en rigtig trekant med en spids vinkel svarende til # 30 ^ o # og katetus modsat det er lig med #2#. Denne hypotenuse er dobbelt så lang som denne kateter, det vil sige #4#.

Have hypotenuse # OB # og katetus # OM #Find en anden katetus # BM # ved Pythagoras sætning:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Derfor,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perimeter er

# 3 * BC = 12sqrt (3) #