Hvad er løsningen på differentialekvationen dy / dx + y = x?

Svar:

#y = A e ^ -x + x - 1 #

# "Dette er en lineær førsteordens diff. Eq. Der er en generel teknik" #

# "for at løse denne form for ligning. Situationen her er enklere" #

#"selvom."#

# "Først søg løsningen af den homogene ligning (=" # "

# "samme ligning med højre side lig med nul:" #

# {dy} / {dx} + y = 0 #

# "Dette er en lineær førsteordens diff. Eq. Med konstante koefficienter." #

# "Vi kan løse dem med substitutionen" y = A e ^ (rx): #

#r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 #

# => r + 1 = 0 "(efter opdeling gennem" A e ^ (rx) ")" #

# => r = -1 #

# => y = A e ^ -x #

# "Så søger vi en bestemt løsning af hele ligningen." #

# "Her har vi en nem situation, da vi har et let polynom" # #

# "i højre side af ligningen." #

# "Vi forsøger et polynom af samme grad (grad 1) som løsning:" #

#y = x + b #

# => 1 + x + b = x #

# => b = -1 #

# => y = x - 1 "er den særlige løsning." #

# "Hele løsningen er summen af den særlige løsning, som vi" #

# "har fundet og løsningen på den homogene ligning:" #

# => y = A e ^ -x + x - 1 #

# Y = Ce ^ (- x) + x-1 #

# Dy / dx + y = x #

# Y '+ y = x #

# (Y '+ y) * e ^ x = xe ^ x #

# (I ^ x) '= xe ^ x #

# ye ^ x = int xe ^ x * dx #

# ye ^ x = xe ^ x-int e ^ x * dx #

# I ^ x = (x-1) * e ^ x + C #

# Y = Ce ^ (- x) + x-1 #