Hvad er en abelisk gruppe, fra et lineært / abstrakt algebra perspektiv?

Svar:

En Abelian-gruppe er en gruppe med den ekstra egenskab af gruppens operation, der er kommutativ.

Forklaring:

EN gruppe # <G, •> # er et sæt # G # sammen med en binær operation # •: GxxG-> G # som opfylder følgende betingelser:

1. # G # er lukket under #•#.

   For nogen # En, Bing #, vi har # a • b i G #

2. #•# er associativ.

   For nogen # A, b, Cing #, vi har # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # indeholder en identitetselement

   Der eksisterer # Eing # sådan for alle # AinG #, # En • e = e • a = en #

4. Hvert element af # G # har en invers i # G #

   For alle # AinG # der eksisterer #A ^ (- 1) ING # sådan at # En • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

En gruppe siges at være Abelian hvis det også har egenskaben som #•# er kommutativ, det vil sige for alle # En, Bing #, vi har # a • b = b • en #.

Gruppen # <ZZ, +> # (heltalene med standardaddition) er en Abelian-gruppe, da den opfylder alle fem af ovenstående betingelser.

Gruppen # GL_2 (RR) # (sæt af inverterbare # 2 "x" 2 # matricer med virkelige elementer sammen med matrixmultiplikation) er ikke-abelisk, da det samtidig opfylder de første fire betingelser, er matrixmultiplikation mellem inverterbare matricer ikke nødvendigvis kommutativ. For eksempel:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

men

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#