Test f for konkavitet?

Svar:

# F # er konveks ind # RR #

Forklaring:

Løst det jeg tror.

# F # er 2 gange differentiable i # RR # så # F # og # F '# er kontinuerlige i # RR #

Vi har # (F '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Differentiering af begge dele får vi

# 3 * (f '(x)) ^ 2 f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #F '(x) ^ 2> = 0 # så #F '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #F '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Vi har brug for tegn på tælleren, så vi overvejer en ny funktion

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #x##i## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Vi bemærker det #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Til # x = tt # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Til # X = -π # #g "(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Vi får endelig denne tabel, der viser monotoni af # G #

formodes # I_1 = (- oo, 0 # og # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

fordi

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Brug af squeeze / sandwich sætningen vi har

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Derfor, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Med den samme proces slutter vi til

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Imidlertid, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Derfor, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Sortimentet af # G # vil være:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) UUG (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # så # G # har ingen rødder i # RR #

  # G # er kontinuerlig i # RR # og har ingen løsninger. Derfor, # G # bevarer log ind # RR #

Det betyder

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Dermed, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Som resultat #g (x)> 0 #, #x##i## RR #

Og #F '' (x)> 0 #, #x##i## RR #

#-># # F # er konveks ind # RR #

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Givet #y = f (x) # kurvekurvaturradius er givet af

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # så givet

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # vi har

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # eller

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # eller

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # eller

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

nu analysere #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # vi har

#min g (x) = 0 # til #x i RR # så #g (x) ge 0 # og så krumningen i

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ændrer ikke tegn, så vi konkluderer det #F (x) # epigrafi er konveks i # RR #