Hvad er kvadratroden af 42? + Eksempel

Svar:

#sqrt (42) ~~ 8479/1350 = 6.48bar (074) ~~ 6.4807407 #

Forklaring:

#42=2*3*7# har ingen firkantede faktorer, så #sqrt (42) # kan ikke forenkles. det er et irrationelt tal mellem #6# og #7#

Noter det #42 = 6*7 = 6(6+1)# er i form #n (n + 1) #

Tallene i denne formular har firkantede rødder med en simpel fortsat fraktion ekspansion:

#sqrt (n (n + 1)) = n; bar (2,2n) = n + 1 / (2 + 1 / (2n + 1 / (2 + 1 / (2n + 1 / (2+…))))) #

Så i vores eksempel har vi:

#sqrt (42) = 6; stang (2, 12) = 6 + 1 / (2 + 1 / (12 + 1 / (2 + 1 / (12 + 1 / (2 + …))))) #

Vi kan afkorte den fortsatte fraktion tidligt (helst lige før en af #12#s) for at få gode rationelle tilnærmelser til #sqrt (42) #.

For eksempel:

#sqrt (42) ~~ 6; 2,12,2 = 6 + 1 / (2 + 1 / (12 + 1/2)) = 337/52 = 6,48bar (076923) #

#sqrt (42) ~~ 6; 2,12,2,12,2 = 6 + 1 / (2 + 1 / (12 + 1 / (2 + 1 / (12 + 1/2)))) = 8479/1350 = 6,48bar (074) ~ ~ 6,4807407 #

Denne tilnærmelse vil have omtrent lige så mange signifikante cifre som summen af de signifikante cifre i tælleren og nævneren, og dermed stoppe efter #7# decimaler.