Hvordan skelner du mellem følgende parametriske ligning: x (t) = tlnt, y (t) = cost-tsin ^ 2t?

Svar:

# (df (t)) / dt = (ln (t) + 1, -in (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t)) #

Forklaring:

At differentiere en parametrisk ligning er lige så let som at differentiere hver enkelt ligning for dets komponenter.

Hvis #f (t) = (x (t), y (t)) # derefter # (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt)

Så vi bestemmer først vores komponentderivater:

# (dx (t)) / dt = ln (t) + t / t = ln (t) + 1 #

# (dy (t)) / dt = -in (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t) #

Derfor er den endelige parametriske kurves derivater simpelthen en vektor af derivaterne:

# (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt)

# = (ln (t) + 1, -in (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t)) #

Hvordan adskiller du den følgende parametriske ligning: x (t) = t / (t-4), y (t) = 1 / (1-t ^ 2)?

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt (1-t ^ 2) ^ 2 farve (hvid) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 farve (hvid) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ( (T-4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 farve (hvid) 4) ^ 2 farve (hvid) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) 2 -: - 4 / -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2 ) ^ 2) = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2

Tomas skrev ligningen y = 3x + 3/4. Da Sandra skrev hendes ligning, opdagede de, at hendes ligning havde alle de samme løsninger som Tomas ligning. Hvilken ligning kan være Sandras?

4y = 12x +3 12x-4y +3 = 0 En ligning kan gives i mange former og betyder stadig det samme. y = 3x + 3/4 "" (kendt som hældning / opfangningsform.) Multipliceret med 4 for at fjerne fraktionen giver: 4y = 12x +3 "" rarr 12x-4y = -3 "" (standardformular) 12x- 4y +3 = 0 "" (generel form) Disse er alle i den enkleste form, men vi kunne også få uendelige variationer af dem. 4y = 12x + 3 kunne skrives som: 8y = 24x +6 "" 12y = 36x +9, "" 20y = 60x +15 osv.

Hvordan differentierer du den følgende parametriske ligning: x (t) = e ^ t / (t + t) ^ 2-t, y (t) = t-e ^ (t)

Dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^ 3) - 1, dy / dt = 1 - e ^ t Da kurven udtrykkes i to funktioner af t vi kan finde svaret ved at differentiere hver funktion individuelt med hensyn til t. Først bemærkes, at ligningen for x (t) kan forenkles til: x (t) = 1/4 e ^ t 1 / (t ^ 2) - t Mens y (t) kan efterlades som: y (t) = t - e ^ t Når man ser på x (t), er det nemt at se, at anvendelsen af produktreglen giver et hurtigt svar. Mens y (t) er simpelthen standard differentiering af hvert udtryk. Vi bruger også det faktum, at d / dx e ^ x = e ^ x. dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^