Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen af f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Svar:

Parabolae har nøjagtigt en ekstrem, toppunktet.

det er #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Siden # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # Overalt er funktionen konkave overalt, og dette punkt skal være et minimum.

Forklaring:

Du har to rødder til at finde parabolens toppunkt: en, brug beregning til at finde, hvor derivatet er nul; to, undgå beregning for enhver pris og bare færdiggør firkanten. Vi skal bruge calculus for øvelsen.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, vi skal tage afledt af dette.

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Ved lineariteten af derivatet har vi

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Brug af strømreglen, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # vi har

# {df (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Vi sætter dette lig med nul for at finde de kritiske punkter, de lokale og globale minima og maxima og nogle gange for bøjning har derivater på nul.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

så vi har et kritisk punkt på # X = -9/2 # eller #-4 1/2#.

For at finde y-koordinatet for det kritiske punkt, vi sub i # X = -9/2 # tilbage i funktionen, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Det kritiske punkt / vertex er #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Vi ved det fordi #A> 0 #, dette er et maksimum.

For formelt at finde ud af om det er en maxima eller minima, skal vi lave den anden afledte test.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Det andet derivat er 2 ved alle værdier af x. Det betyder, at det er større end nul overalt, og funktionen er konkave overalt (det er en parabol med #A> 0 # når alt kommer til alt), så ekstrem må være et minimum, toppunktet.