Bevis sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Svar:

I forklaring

Forklaring:

På et normalt koordinatplan har vi koordinat som (1,2) og (3,4) og ting sådan. Vi kan genudtrykke disse koordinater n termer af radier og vinkler. Så hvis vi har pointet (a, b) betyder det at vi går enheder til højre, b enheder op og #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # som afstanden mellem oprindelsen og punktet (a, b). jeg vil ringe #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Så vi har # Re ^ arctan (b / a) #

For at afslutte dette bevis skal vi huske en formel.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funktionen af lysbue giver mig en vinkel, som også er theta.

Så vi har følgende ligning:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + synd (arctan (b / a)) #

Nu kan vi tegne en rigtig trekant.

Arctan af (b / a) fortæller mig, at b er den modsatte side, og a er den tilstødende side. Så hvis jeg ønsker cos af arctan (b / a), bruger vi Pythagoras sætning til at finde hypotenuse. Hypotenuse er #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Så cos (arctan (b / a)) = tilstødende over hypotenuse = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Det bedste ved dette er, at det samme princip gælder for sinus. Så synd (arctan (b / a)) = modsat over hypotenuse = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Så nu kan vi udtrykke vores svar som dette: #R * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Men husk #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # så nu har vi: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R er annulleret, og du følger med følgende: # A + bi #

Derfor, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #