Hvorfor konvergerer energiniveauerne til et kontinuum og hvad er et kontinuum?

Det kontinuum er simpelthen en gruppe af energiniveauer, hvis energiforbrug er ubetydeligt lille, og det nås, når elektronens elektroniske kinetiske energi overstiger den potentielle energi, der ville fælde dem.

Energiniveauer kan kun konvergere til et kontinuum, når den potentielle energi, der fælder elektronen, er begrænset, eller hvis det springer af. Når det er uendelig, ingen kontinuum kan forekomme.

ANSVARSFRASKRIVELSE: DETTE ER ET REFERENCE SVAR!

Følgende er eksempler på potentielle energi brønde almindeligt set i kvantefysik med kendte energiløsninger, der måske eller måske ikke konvergerer til et kontinuum:

1D FINITE SQUARE WELL

Det potentiel energi er givet af:

#V (x) => = L), (0, -L <x <L): #

hvor # V_0 # er en endelig potentiel energiværdi. Boksen har længde # 2L #, og er centreret på #x = 0 #.

I dette tilfælde, # V # stiv skærer ud på # V_0 #, og det er det, vi kalder et fast, begrænset potentiale.

Dette problem løses generelt på en måde, der definerer en bølgefunktion for de tre sektioner af den potentielle energibilde. Energiløsningerne bestemmes bedst ved at afgrænse for separat at finde de "ulige" og "lige" løsninger.

Det samlet løsning er:

#E_n = (ℏ ^ 2v_n ^ 2) / (2mL ^ 2) #

hvor # V_n # er kvante nummeret for hvert energiniveau.

Fordi brønden er begrænset, # V_n # er ikke et helt tal, og de ulige og lige løsninger giver dig mulighed for at sammensætte de tilladte kvante tal. Det betyder også det et kontinuum kan nås.

Den fulde løsning vises her og beskriver præcist hvordan du kan løse dette problem trin for trin fra start til slut ved at indstille bølgefunktionerne for hvert afsnit, foretage de korrekte udskiftninger mv.

1D INFINITE WELL (PARTICLE IN A BOX)

Den uendelige brønd er en forlængelse af den endelige brønd for # V_0 -> oo #:

Her, den potentiel energi er simpelthen givet af:

#V (x) => = L), (0, -L <x <L): #

Dette er nok den nemmeste form for potentielt energiproblem, du kan løse, og du kan gøre det på papir uden en lommeregner.

Det energiløsning har en meget kendt form:

#E_n = (ℏ ^ 2n ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

Den eneste forskel er det # N # skal være et helt tal der starter på #n = 1 #, og at der er en faktor på # Pi ^ 2 # foran.

Her har vi ingen kontinuum, fordi der ikke er nogen ende på, hvor højt dette godt egentlig er. Vi siger, at partiklen aldrig kan trænge ind i den "klassiske region", som #E prop n ^ 2 #, hvilket betyder det vil aldrig aftage.

Den fulde løsning er vist her, løst fra start til slut, herunder Schrödinger ligningen for problemet.

Det er et grundlæggende problem inden for kvantekemi, og hvis du tager den klasse, skal du vide, hvordan du gør det inde og ude.

(3D) HYDROGEN ATOM

Dette er det mest kendte problem, måske og er godt anvendt generelt kemi; den potentielle energibilde ser sådan ud:

I dette tilfælde er potentiel energi er givet af:

#V (r) = - (e ^ 2) / (4piepsilon_0r) #

hvor #r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) # er en radial koordinat i et sfærisk koordinatsystem, #x = rsinthetacosphi #, #y = rsinthetasinphi #, og #z = rcostheta #. De andre symboler er kendte konstanter.

Dette problem er en af de mest besværlige løsninger, og jeg går igennem omkring 90% af løsningen her.

Det energiløsninger er givet som:

#E_n = - (Z ^ 2me e ^ 4) / (8h ^ 2epsilon_0 ^ 2n ^ 2) #

eller i lettere enheder, #E_n = - "13,6 eV" cdot Z ^ 2 / n ^ 2 #, hvor # Z # er atomnummeret.

Det vi bryr os om er, at energien går som # 1 / n ^ 2 #, ligesom # N # øger energien Konvergerer til et kontinuum, det vil sige det aftar i en tæt samling af energiniveauer.

Hvad dette betyder er at atomet er kapacitivt ioniseret, og # "H" # kan let danne # "H" ^ (+) #. Dette er godt, fordi det danner grundlaget for syrebasekemi.