Hvad er cofactor-ekspansionsmetoden for at finde determinanten?

Hej !

Lade #A = (a_ {i, j}) # være en matrix af størrelse #n times n #.

Vælg en kolonne: kolonne nummer # J_0 # (Jeg skriver: "The # J_0 #-t kolonne ").

Det cofaktorudvidelsesformel (eller Laplace's formel) til # J_0 #-søjlen er

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

hvor # Delta_ {i, j_0} # er determinanten af matrixen #EN# uden sin #jeg#-den linje og dens # J_0 #-t kolonne så, # Delta_ {i, j_0} # er en determinant af størrelse # (n-1) gange (n-1) #.

Bemærk at nummeret # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # Hedder cofaktor af sted # (I, j_0) #.

Måske ser det ud som kompliceret, men det er let at forstå med et eksempel. Vi ønsker at beregne # D #:

Hvis vi udvikler os i 2. kolonne, får du

så:

Langt om længe, # D = 0 #.

For at være effektiv, skal du vælge en linje, der har mange nuller: summen vil være meget enkel at beregne!

Bemærkning. Fordi # det (A) = det (A ^ tekst {T}) #, kan du også vælge en linje snarere en kolonne. Så bliver formlen

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

hvor # I_0 # er nummeret på den valgte linje.