Svar:
Tangentlinjen er parallel med #x# akse når skråningen (dermed # Dy / dx #) er nul og det er parallelt med # Y # akse når hældningen (igen, # Dy / dx #) går til # Oo # eller # -Oo #
Forklaring:
Vi begynder med at finde # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Nu, # dy / dx = 0 # når nuimeratoren er #0#, forudsat at dette ikke også gør nævneren #0#.
# 2x + y = 0 # hvornår #y = -2x #
Vi har nu to ligninger:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Løs (ved substitution)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Ved brug af #y = -2x #, vi får
Tangentet til kurven er vandret ved de to punkter:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # og # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Vær opmærksom på, at disse par ikke også gør nævneren af # Dy / dx # svarende til #0#)
For at finde de punkter, hvor tangenten er lodret, lav nævneren af # Dy / dx # lige tpo #0# (uden også at tælle tælleren #0#).
Vi kunne gå igennem løsningen, men symmetrien af ligningen, som vi får:
# X = -2y #, så
#y = + - sqrt21 / 3 #
og punkterne på kurven, hvor tangenten er lodret, er:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # og # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
I øvrigt. Fordi vi har teknologien, her er grafen for denne roterede ellipse: (Bemærk at # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # som du kan se på grafen.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Svar:
Brug kun mellemskole matematik, jeg får
Tangenter parallelt med x-aksen på:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) og (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangenter parallelt med y-aksen på:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) og (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Forklaring:
Jeg kigget på Jims svar, som ligner en flot standard beregningsbehandling. Men jeg kunne ikke lade være med at være trist for alle mellemskolerne derude i det socratiske land, der vil finde tangenter af algebraiske kurver, men er stadig år væk fra beregningen.
Heldigvis kan de gøre disse problemer ved kun at bruge algebra I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Dette kan være lidt kompliceret til et første eksempel, men lad os gå med det. Vi skriver vores kurve som #F (x, y) = 0 # hvor
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Lad os tage # (R, s) # som et punkt på # F #. Vi vil undersøge # F # nær ved # (R, s) # så vi skriver
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# (r + (x-r)) 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) 2-
Vi udvider, men vi udvider ikke forskelbetingelserne # x-r # og # Y-s #. Vi ønsker at holde dem intakte, så vi kan eksperimentere med at eliminere noget senere.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) ys) #
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s)
Vi sagde # (R, s) # er på # F # så #F (r, s) = 0 #.
(y-s) + (x, y) = 2r + s) (x-r) + (2s + r)
Vi sorterede vilkårene efter grad, og vi kan eksperimentere med tilnærmelser til # F # nær ved # (R, s) # ved at tabe de højere grader. Ideen er hvornår # (X, y) # er nær # (R, s) # derefter # x-r # og # Y-s # er små, og deres kvadrater og produkt er endnu mindre.
Lad os bare generere nogle tilnærmelser til # F #. Siden # (R, s) # er på kurven, er den konstante tilnærmelse, der taber alle forskelbetingelserne, # f_0 (x, y) = 0 #
Det er ikke særlig spændende, men det fortæller os rigtigt punkter i nærheden # (R, s) # vil give en værdi nær nul for # F #.
Lad os blive mere interessante og holde de lineære udtryk.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Når vi sætter dette til nul, får vi den bedste lineære tilnærmelse til # F # nær ved # (R, s), # hvilket er tangent linje til # F # på # (R, s). # Nu kommer vi et sted.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Vi kan også overveje andre tilnærmelser:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r)
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Disse er højere ordens tangenter, de som college matematik studerende næsten aldrig kommer til. Vi er allerede gået ud over college calculus.
Der er flere tilnærmelser, men jeg bliver advaret om, at det bliver lang. Nu da vi lærte at lave calculus ved hjælp af Algebra I, lad os gøre problemet.
Vi ønsker at finde de punkter, hvor tangentlinjen er parallel med #x# akse og # Y # akse.
Vi fandt vores tangent linje på # (R, s) # er
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Parallelt med #x# akse betyder en ligning #y = tekst {konstant} #. Så koefficienten på #x# skal være nul:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # er på kurven så #F (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Siden # S = -2R # punkterne er
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) og (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Ligeledes parallelt med y-aksen betyder # 2s + r = 0 # som bare skal bytte x og y på grund af symmetrien af problemet. Så de andre punkter er
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) og (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Kontrollere.
Hvordan man tjekker Lad os lave et alfa-plot.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Ser godt ud. Beregning på algebraiske kurver. Ganske godt for mellemskolen.
