Hvad er omkredsen af en regelmæssig ottekant med en radius af længde 20?

Svar:

Det kommer an på:

Hvis den indre radius er #20#, så er omkredsen:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Hvis den ydre radius er #20#, så er omkredsen:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Forklaring:

Her omkranser den røde cirkel den ydre radius og den grønne cirkel den indre.

Lade # R # Vær den ydre radius - det er radius af den røde cirkel.

Så centreret på ottekantet centreret på #(0, 0)# er ved:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Længden af den ene side er afstanden mellem # (r, 0) # og # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Så den samlede omkreds er:

#color (rød) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Så hvis den ydre radius er #20#, så er omkredsen:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#COLOR (hvid) () #

Den indre radius vil være # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Så #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Så er den samlede omkreds

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Farve (grøn) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Så hvis den indre radius er #20#, så er omkredsen:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#COLOR (hvid) () #

Hvor god en tilnærmelse til # Pi # giver det os?

Mens vi er her, hvilken tilnærmelse for # Pi # får vi ved at gennemsnitlige indre og ydre radier?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… så ikke fantastisk.

At få så god en tilnærmelse som #355/113 ~~ 3.1415929#, den kinesiske matematiker Zu Chongzhi brugte en #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) sidet polygon og tællestænger.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi