Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (i -2j + 3k) og (i - j + k)?

Svar:

Der er to trin i at finde denne løsning: 1. Find tværproduktet af de to vektorer for at finde en vektor ortogonal til planet, der indeholder dem, og 2. normaliser den vektor, så den har enhedslængde.

Forklaring:

Det første skridt i løsningen af dette problem er at finde tværproduktet af de to vektorer. Korsproduktet ved definition finder en vektor ortogonal til planet, hvori de to vektorer multipliceres.

# (i-2j + 3k) xx (i-j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (I + 2j + k) #

Dette er en vektor ortogonal til flyet, men det er endnu ikke en enhedsvektor. For at gøre det er vi nødt til at 'normalisere' vektoren: opdele hver af dens komponenter med dens længde. Længden af en vektor # (Ai + bj + ck) # er givet af:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

I dette tilfælde:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Opdeling af hver komponent af # (I + 2j + k) # ved # Sqrt6 # giver vores svar, hvilket er, at enheden vektor ortogonale til planet, hvori # (i-2j + 3k) og (i-j + k) # løgn er:

# (I / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #