Hvordan finder du MacLaurins formel for f (x) = sinhx og bruger den til at approximere f (1/2) inden for 0,01?

Svar:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Forklaring:

Vi kender definitionen til #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Da vi kender Maclaurin serien til # E ^ x #, vi kan bruge den til at konstruere en til #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Vi kan finde serien til # E ^ -x # ved at erstatte #x# med #-x#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Vi kan trække disse to fra hinanden for at finde tælleren af # Sinh # definition:

#COLOR (hvid) (-. e ^ -x) e ^ x = farve (hvid) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (hvid) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = farve (hvid) (lllllllll) 2xcolor (hvid) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Farve (hvid) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Vi kan se, at alle de lige vilkår annullerer og alle de ulige vilkår dobbelt. Vi kan repræsentere dette mønster som sådan:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

For at fuldføre #sinh (x) # serier, vi skal bare dele dette med #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo annullere2 / (annuller2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nu vil vi beregne #f (1 / 2) # med en nøjagtighed af mindst #0.01#. Vi kender denne generelle form af Lagrange-fejlen bundet til en nth grad taylor-polynom om # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / (! (N + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # hvor # M # er en øvre grænse for nth derivatet på intervallet fra # C # til #x#.

I vores tilfælde er udvidelsen en Maclaurin-serie, så # c = 0 # og # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

De højere ordensderivater af #sinh (x) # vil enten være #sinh (x) # eller #cosh (x) #. Hvis vi overvejer definitionerne for dem, ser vi det #cosh (x) # vil altid være større end #sinh (x) #, så vi skal udarbejde # M #-bundet til #cosh (x) #

Den hyperbolske cosinusfunktion er altid stigende, så den største værdi på intervallet vil være på #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Nu slutter vi dette til Lagrange-fejlen, der er bundet:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

Vi vil have # | R_n (x) | # at være mindre end #0.01#, så vi forsøger nogle # N # værdier indtil vi kommer til det punkt (det mindste antal udtryk i polynomet, jo bedre). Vi finder det # N = 3 # er den første værdi, der vil give os en fejl bundet mindre end #0.01#, så vi skal bruge et 3-graders taylor-polynom.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336.169 / 645.120 ~~ 0.52 #