Hvordan finder du summen af den uendelige geometriske serie 10 (2/3) ^ n når n = 2?

Svar:

Svaret er enten #40/9# eller #40/3# alt efter hvad der var meningen med spørgsmålet.

Forklaring:

Nå hvis #n = 2 # så er der ikke en sum, svaret er bare:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Men måske var spørgsmålet meningen at bede om, at det uendelige beløb blev taget fra og med # N = 2 # sådan at ligningen er:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

I dette tilfælde beregner vi det ved først at bemærke, at enhver geometrisk serie kan ses som værende af formularen:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

I dette tilfælde har vores serie #a = 10 # og #r = 2/3 #.

Vi vil også bemærke, at:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Så vi kan bare beregne summen af en geometrisk serie # (2/3) ^ n # og multiplicér derefter summen af #10# at nå frem til vores resultat. Dette gør tingene lettere.

Vi har også ligningen:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Dette giver os mulighed for at beregne summen af serien fra og med # N = 0 #. Men vi vil beregne det fra # N = 2 #. For at gøre dette vil vi simpelthen trække fra # N = 0 # og # N = 1 # vilkår fra den fulde sum. Skrivning af de første flere betingelser i summen kan vi se, at det ser ud til:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Vi kan se det:

(n = 2) ^ ifty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#