Hvordan vurderer jeg cos (pi / 5) uden at bruge en lommeregner?

Svar:

Cos (# Pi # / 5) = cos 36 ° = (# Sqrt #5 + 1)/4.

Forklaring:

Hvis # Theta # = # Pi #/ 10, derefter 5# Theta # = # Pi #/2 #=># cos3# Theta # = sin2# Theta #. cos (# Pi # /2 - # Alfa #) = synd# Alfa #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # Theta # - 3cos# Theta # = 2sin# Theta #cos# Theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## Theta # - 3 = 2 synd # Theta #.

#=># 4 (1 - # Synd ^ 2 # # Theta #) - 3 = 2 synd# Theta #. #=># 4# Synd ^ 2 # # Theta #+ 2sin# Theta # - 1 = 0#=>#

synd# Theta # =(# Sqrt # 5 - 1) /4.

Nu cos 2# Theta # = cos # Pi #/5 = 1 - 2# Synd ^ 2 # # Theta #, giver resultatet.

Svar:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Forklaring:

Lade #a = cos (pi / 5) #, # b = cos (2 * pi / 5) #. Dermed #cos (4 * pi / 5) = -a #. Fra de dobbelte vinkelformler:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

subtraktion, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # er ikke nul, da begge udtryk er positive, så # A-b # må være #1/2#. Derefter

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

og den eneste positive rod er

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Og # b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.