Hvad er integralet af sqrt (9-x ^ 2)?

Når jeg ser disse slags funktioner, genkender jeg (ved at øve meget) at du skal bruge en særlig substitution her:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Det kan se ud som en underlig substitution, men du vil se, hvorfor vi gør dette.

#dx = 3cos (u) du #

Udskift everyhting i integralet:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Vi kan bringe 3 ud af integralet:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Du kan faktor 9 ud:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Vi kender identiteten: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Hvis vi løser for # Cosx #, vi får:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Dette er præcis det vi ser i integralet, så vi kan erstatte det:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Du kan måske kende denne som en grundlæggende antiderivativ, men hvis du ikke gør det, kan du finde ud af det som sådan:

Vi bruger identiteten: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (du kan arbejde dette ud ved substitution)

# 9/2 u + 9/4 synd (2u) + C #

Nu er alt, hvad vi skal gøre, sat # U # ind i funktionen. Lad os se tilbage på, hvordan vi definerede det:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = synd (u) #

At få # U # ud af dette skal du tage den inverse funktion af #synd# på begge sider er dette # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (synd (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Nu skal vi indsætte det i vores løsning:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 synd (2arcsin (x / 3)) + C #

Dette er den endelige løsning.