Vis at hvis p, q, r, s er reelt tal og pr = 2 (q + s), så har mindst ét af ligningerne x ^ 2 + px + q = 0 og x ^ 2 + rx + s = 0 rigtige rødder?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Diskriminanten af # X ^ 2 + px + q = 0 # er # Delta_1 = p ^ 2-4q #

og det af # X ^ 2 + rx + s = 0 # er # Delta_2 = r ^ 2-4s #

og # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

og hvis # PR = 2 (q + s) #, vi har # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Da summen af de to diskriminanter er positive, mindst en af dem ville være positiv

og dermed mindst en af ligningerne # X ^ 2 + px + q = 0 # og # X ^ 2 + rx + s = 0 # har reelle rødder.