Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (2, 6), (9, 1) og (5, 3) #?

Svar:

Orthocenteret er #(-10,-18)#

Forklaring:

Orthocenteret af en trekant er skæringspunktet for de tre højder af trekanten.

Hældningen af linjesegmentet fra punkt #(2,6)# til #(9,1) # er:

# m_1 = (1-6) / (9-2) #

# m_1 = -5 / 7 #

Hældningen af højden trukket gennem dette linjestykke vil være vinkelret, hvilket betyder at den vinkelrette hældning vil være:

# p_1 = -1 / m_1 #

# p_1 = -1 / (- 5/7) #

# p_1 = 7/5 #

Højden skal passere gennem punktet #(5,3)#

Vi kan bruge punkt-hældningsformularen for ligningens ligning til at skrive ligningen for højden:

#y = 7/5 (x-5) + 3 #

Forenkle lidt:

#y = 7 / 5x-4 "1" #

Hældningen af linjesegmentet fra punkt #(2,6)# til #(5,3) # er:

# m_2 = (3-6) / (5-2) #

# m_2 = -3 / 3 #

# m_2 = -1 #

Hældningen af højden trukket gennem dette linjestykke vil være vinkelret, hvilket betyder at den vinkelrette hældning vil være:

# p_2 = -1 / m_2 #

# p_2 = -1 / (- 1) #

# p_2 = 1 #

Højden skal passere gennem punktet #(9,1)#

Vi kan bruge punkt-hældningsformularen for ligningens ligning til at skrive ligningen for højden:

#y = 1 (x-9) + 1 #

Forenkle lidt:

#y = x-8 "2" #

Vi kunne gentage denne proces for tredje højde, men vi har allerede nok information til at bestemme skæringspunktet.

Indstil højre side af ligningen 1 svarende til højre side af ligningen 2:

# 7 / 5x-4 = x-8 #

Løs for x-krydsets koordinat:

# 2 / 5x = -4 #

#x = -10 #

For at finde værdien af y erstatter -10 for x i ligning 2:

#y = -10 - 8 #

#y = -18 #

Orthocenteret er #(-10,-18)#