Svar:
Krydsningskurven kan parametrieres som # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Forklaring:
Jeg er ikke sikker på hvad du mener ved vektorfunktion. Men jeg forstår det, at du søger at repræsentere krydsningskurven mellem de to overflader i spørgsmålet.
Da cylinderen er symmetrisk omkring # Z # akse, kan det være lettere at udtrykke kurven i cylindriske koordinater.
Skift til cylindriske koordinater:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # er afstanden fra # Z # akse og # Theta # er mod uret vinkel fra #x# akse i # x, y # flyet.
Så bliver den første overflade
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, på grund af den pythagoreanske trigonometriske identitet.
Den anden overflade bliver
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Vi lærte af ligningen af den første overflade, at skæringsskurven skal være i en kvadreret afstand # R ^ 2 = 81 # fra den første overflade, giver det
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, en kurve parametreret af # Theta #. Det sidste trin er en trigonometrisk identitet og udføres lige fra personlig præference.
Fra dette udtryk ser vi, at kurven faktisk er en kurve, da den har en grad af frihed.
Alt i alt kan vi skrive kurven som
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, som er en vektorværdieret funktion af en enkelt variabel # Theta #.
Svar:
Se nedenunder.
Forklaring:
I betragtning af skæringspunktet mellem
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z i RR):} #
med
# C_2-> z = x y #
eller # C_1 nn C_2 #
vi har
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
nu løse for # X ^ 2, y ^ 2 # vi får de parametriske kurver
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))) (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # eller
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt -4z ^ 2)))):} #
som er rigtige for
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Vedlagt et plot, der viser krydsekurven i rødt (et blad).
