Tallet 90 ^ 9 har 1900 forskellige positive integrerede divisorer. Hvor mange af disse er firkanter af heltal?

Svar:

Wow - Jeg får svar på mit eget spørgsmål.

Forklaring:

Det viser sig, at tilgangen er en kombination af kombinatorik og talteori. Vi begynder med factoring #90^9# ind i dens primære faktorer:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Tricket her er at finde ud af, hvordan man finder firkanter af heltal, hvilket er relativt enkelt. Firkanter af heltal kan genereres på forskellige måder fra denne faktorisering:

#5^9*3^18*2^9#

Det kan vi se #5^0#, for eksempel er en firkant af et helt tal og en divisor af #90^9#; ligeledes, #5^2#, #5^4#,#5^6#, og #5^8# alle opfylder også disse betingelser. Derfor har vi 5 mulige måder at konfigurere en divisor af #90^9# det er en firkant af et helt tal, der bruger 5s alene.

Den samme begrundelse gælder for #3^18# og #2^9#. Hver lige strøm af disse primære faktorer - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 i alt) til 3 og 0, 2, 4, 6, 8 (5 i alt) til 2 - er en perfekt plads, som er en divisor af #90^9#. Desuden, enhver kombination af disse primære divisorer, der har lige magt opfylder også betingelserne. For eksempel, #(2^2*5^2)^2# er en firkant af et helt tal, som det er #(3^8*2^4)^2#; og begge, der består af divisors of #90^9#, er også divisorer af #90^9#.

Således er det ønskede antal kvadrater af heltal, der er divisorer af #90^9# er givet af #5*10*5#, hvilket er multiplikationen af de mulige valg for hver primære faktor (5 for 5, 10 for 3 og 5 for 2). Dette er lig med #250#, hvilket er det rigtige svar.