Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (- 5 i + 4 j - 5 k) og (4 i + 4 j + 2 k)?

Svar:

Der er to trin: (1) find vektorens tværprodukt, (2) normalisere den resulterende vektor. I dette tilfælde er svaret:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Forklaring:

Korsproduktet af to vektorer giver en vektor, der er ortogonal (i rette vinkler) til begge.

Korsproduktet af to vektorer #(en#jeg# + B #j# + C #k#)# og # (P #jeg# + Q #j# + R #k#)# er givet af # (B * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Første skridt er at finde krydsproduktet:

# (- 5i + 4j-5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + (± 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Denne vektor er ortogonal for begge de oprindelige vektorer, men det er ikke en enhedsvektor. For at gøre det til en enhedsvektor skal vi normalisere det: Opdel hver af dens komponenter med længden af vektoren.

# L = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # enheder

Enhedsvektoren ortogonale til de oprindelige vektorer er:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Dette er en enhedsvektor, der er ortogonal for begge de oprindelige vektorer, men der er en anden - den ene i den nøjagtige modsatte retning. At skifte tegn på hver af komponenterne giver en anden vektor ortogonal til de oprindelige vektorer.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(men det er den første vektor, du bør tilbyde som svar på en test eller opgave!)