Hvad er gennemsnitsværdien af funktionen f (x) = cos (x / 2) på intervallet [-4,0]?

Svar:

# 1 / 2sin (2) #, rundt regnet #0.4546487#

Forklaring:

Den gennemsnitlige værdi # C # af en funktion # F # på intervallet # A, b # er givet af:

# C = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Her oversættes dette til gennemsnitsværdien af:

# C = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Lad os bruge substitutionen # U = x / 2 #. Dette indebærer det # Du = 1 / 2dx #. Vi kan så omskrive integralet som sådan:

# C = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# C = 1 / 2INT _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Gå fra hinanden #1/4# ind i #1/2*1/2# giver mulighed for # 1 / 2dx # at være til stede i integralet, så vi nemt kan foretage substitutionen # 1 / 2dx = du #. Vi skal også ændre grænserne til grænserne for # U #, ikke #x#. For at gøre dette skal du tage det aktuelle #x# grænser og tilslut dem til # U = x / 2 #.

# C = 1 / 2INT _ (- 2) ^ 0cos (u) DU #

Dette er en fælles integreret (bemærk at # D / dxsin (x) = cos (x) #):

# C = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Evaluering:

# C = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# C = -1 / 2sin (-2) #

Noter det #sin (-x) = - sin (x) #:

# C = 1 / 2sin (2) #

#c ca.0.4546487 #

Hvad er gennemsnitsværdien af funktionen f (x) = (x-1) ^ 2 på intervallet [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Gennemsnit af alle punkter af" f (x) i [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Hvad er gennemsnitsværdien af funktionen f (t) = te ^ (- t ^ 2) på intervallet [0,5]?

Det er 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 ^ ^ - 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)

Hvad er gennemsnitsværdien af funktionen f (x) = 18x + 8 på intervallet [0,10]?

98 Gennemsnitsværdien af f på [a, b] er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For dette problem er det 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98.