Brug Rational Zeros Theorem til at finde de mulige nuller af følgende polynomiale funktion: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Svar:

Den mulige rationel nuller er:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Forklaring:

Givet:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Ved den rationelle nullos sætning, enhver rationel nuller af #F (x) # er udtrykkelige i form # P / q # for heltal #p, q # med # P # en divisor af den konstante sigt #-35# og # Q # en divisor af koefficienten #33# af det førende udtryk.

Deltagerne af #-35# er:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Deltagerne af #33# er:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Så de mulige rationelle nuller er:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

eller i stigende rækkefølge af størrelse:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Bemærk, at disse kun er de rationelle muligheder. Den rationelle nullos sætning fortæller os ikke om mulige irrationelle eller komplekse nuller.

Ved hjælp af Descartes 'Signs Rule, kan vi bestemme, at denne cubic ikke har nogen negative nuller og #1# eller #3# positive reelle nuller.

Så de eneste mulige rationelle nuller er:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Forsøger hver igen finder vi:

#f (1/11) = 33 (farve (blå) (1/11)) 3-245 (farve (blå) (1/11)) ^ 2 + 407 (farve (blå) (1/11)) -35 #

#color (hvid) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (hvid) (f (1/11)) = 0 #

Så # X = 1/11 # er en nul og # 11x-1 # en faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

For at faktorere den resterende kvadratiske kan vi bruge en AC-metode:

Find et par faktorer af #AC = 3 * 35 = 105 # med summen # B = 22 #

Parret #15, 7# arbejder.

Brug dette par til at opdele mellemperioden og derefter faktor ved at gruppere:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (hvid) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (hvid) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Så de to andre nuller er:

# x = 7/3 "" # og # "" x = 5 #