Hvilke af de følgende udsagn er sande / falske? Begrund dit svar. (i) R2 har uendeligt mange ikke-nul, korrekte vektorunderrum. (ii) Hvert system af homogene lineære ligninger har en ikke-nul-løsning.

Svar:

# #

# "(i) True." #

# "(ii) False." #

Forklaring:

# #

# "Bevis." #

# "(i) Vi kan konstruere et sæt af underrum:" #

# "1)" forall r i RR, "lad:" qquad quad V_r = (x, r x) i RR ^ 2. #

# "Geometrisk," V_r "er linjen gennem oprindelsen af" RR ^ 2, "af hældningen"

# "2) Vi vil kontrollere, at disse underrum berettiger påstand (i)." #

# "3) Det er klart:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Kontroller at:" qquad qquad V_r "er et ordentligt underrum af" RR ^ 2. #

# "Lad:" qquad du, v i V_r, alpha, beta i RR. qquad qquad qquad quad "Bekræft at:" quad alpha u + beta v i V_r. #

# u, v i V_r rArr u = (x_1, rx_1), v = (x_2, r x_2); "for nogle" x_1, x_2 i RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alfa u + beta v = alpha (x_1, rx_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, rx_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

xquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) i V_r; qquad "med" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Så:" qquad qquad qquadu, v i V_r, alpha, beta i RR quad rArr quad alpha u + beta v i V_r. #

# "Således:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "er et underrum af" RR ^ 2. #

# "For at se, at V_r " er ikke-nul, bemærk at: "#

(1, r) i V_r, "og" (1, r) ne (0, 0). #

# "For at se at" V_r "er korrekt," "bemærk at" (1, r + 1)! I V_r: #

# (1, r + 1) i V_r rArr "(ved opførelse af" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "klart umuligt." #

# "Således:" qquad qquad qquad V_r "er et ikke-nul, korrekt underrum af" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Vis nu, at der er uendeligt mange sådanne underrum" V_r. #

# "Lad:" qquad qquad r, s i RR. qquad qquad qquad quad "Vi viser:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Efter definition:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) i V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) i V_s. #

# "Det er klart:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Således:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Så hver" r i RR "producerer et særskilt underrum" V_r. #

# "Dette sammen med (1) giver:" #

# "Familien af underrum:" r i RR, "er en uendelig familie" #

# "af ikke-nul, korrekte underrum af" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Dette er faktisk nemt. Hvis systemet er firkantet og" #

# "koefficient matrix af systemet i invertible, vil der kun være" #

# "nulopløsningen." #

# "Antag:" qquad qquad quad A "er en firkantet inverterbar matrix." #

# "Overvej det homogene system:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Således som" A "er inverterbar:" #

# qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Således har det homogene system" A x = 0, "ikke en" # "

# "ikke-nul løsning." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #