Hvad er phi, hvordan blev det opdaget og er dets anvendelser?

Svar:

Et par tanker …

Forklaring:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # er kendt som den gyldne ratio.

Det var kendt og studeret af Euclid (ca. 3. eller 4. århundrede fvt), i grunden for mange geometriske egenskaber …

Det har mange interessante egenskaber, hvoraf her er nogle få …

Fibonacci-sekvensen kan defineres rekursivt som:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Det begynder:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

Forholdet mellem successive vilkår har en tendens til # Phi #. Det er:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

Faktisk er den generelle term af Fibonacci-sekvensen givet ved formlen:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Et rektangel med sider i forhold #phi: 1 # hedder et gyldent rektangel. Hvis en kvadrat med maksimal størrelse fjernes fra den ene ende af et gyldent rektangel, er det resterende rektangel et gyldent rektangel.

Dette er relateret til både begrænsningsforholdet mellem Fibonacci-sekvensen og det faktum, at:

#phi = 1; bar (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …)))))

som er den mest langsomt konvergerende standard fortsatte fraktion.

Hvis du placerer tre gyldne rektangler symmetrisk vinkelret på hinanden i tredimensionelt rum, så danner de tolv hjørner hjørnerne på en regelmæssig icosahedron. Derfor kan vi beregne overfladeareal og volumen af en regelmæssig icosahedron med en given radius. Se

En ensartet trekant med sider i forhold #phi: phi: 1 # har basisvinkler # (2pi) / 5 # og apex vinkel # Pi / 5 #. Dette giver os mulighed for at beregne nøjagtige algebraiske formler til #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # og i sidste ende for enhver multipel af # Pi / 60 # (#3^@#). Se