Hvad er linjens hældning normal til tangentlinjen af f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) ved x = (15pi) / 8?

Svar:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktiv graf

Forklaring:

Det første, vi skal gøre, er at beregne #F '(x) # på #x = (15pi) / 8 #.

Lad os gøre dette udtryk efter sigt. For # Sec ^ 2 (x) # term, bemærk at vi har to funktioner indlejret i hinanden: # X ^ 2 #, og #sec (x) #. Så, vi skal bruge en kæderegel her:

# d / dx (sek (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sek (x)) #

#farve (blå) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

For 2. sigt skal vi bruge en produktregel. Så:

x (x-pi / 4) + farve (rød) (d / dxcos (x-pi / 4)) = farve (rød)))(x)#

#farve (blå) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Du kan undre dig over, hvorfor vi ikke brugte en kæderegel for denne del, da vi har en # (x - pi / 4) # inde i cosinusen. Svaret er vi implicit gjorde, men vi ignorerede det. Bemærk hvordan afledt af # (x - pi / 4) # er simpelthen 1? Derfor ændrer vi ikke på noget, så vi ikke skriver det ud i beregningerne.

Nu sætter vi alt sammen:

(x-pi / 4)) = farve (violet) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Se dine tegn.

Nu skal vi finde hældningen af linjen, der er tangent til #F (x) # på #x = (15pi) / 8 #. For at gøre dette, tilslutter vi netop denne værdi til #F '(x) #:

#f '(15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin (15pi) / 8-pi / 4)) = farve (violet) (~~ -6.79) #

Men hvad vi ønsker er ikke linjen tangent til f (x), men linjen normal til det. For at få dette tager vi bare den negative gensidige af hældningen ovenfor.

#m_ (norm) = -1 / -15,78 farve (violet) (~ ~ 0,015) #

Nu passer vi bare ind i punkthældning:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Tag et kig på denne interaktive graf for at se, hvordan dette ser ud!

Håber det hjalp:)