En krop blev fundet kl 10:00 i et lager, hvor temperaturen var 40 ° F. Lægeundersøgelsen fandt temperaturen på kroppen til 80 ° F. Hvad var den omtrentlige dødstid?

Svar:

Omtrentlig dødstid er #8:02:24# er.

Vigtigt at bemærke, at dette er hudens temperatur i kroppen. Den lægeundersøgelse ville måle den indre temperatur, som ville falde meget langsommere.

Forklaring:

Newtons kølelov angiver, at temperaturændringen er proportional med forskellen til omgivelsestemperaturen. dvs.

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Hvis #T> T_0 # så skal kropet afkøles, så derivatet skal være negativt, derfor indfører vi proportionalitetskonstanten og ankommer til

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Multiplicere konsollen og skifte ting om får os:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Kan nu bruge den integrerende faktor metode til at løse ODEs.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Multiplicer begge sider af #I (x) # at få

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Bemærk at ved brug af produktreglen kan vi omskrive LHS og forlader:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrer begge sider wrt til # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Opdele ved # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Gennemsnitlig menneskelig kropstemperatur er # 98,6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Lade # T_f # Vær den tid, hvor kroppen er fundet.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 timer #

Så fra tidspunktet for døden antog kroppen straks at afkøle, det tog 1,96 timer at nå 80 ° F, hvormed det blev fundet.

# 1.96hr = 117.6min #

Omtrentlig dødstid er #8:02:24# er