De reelle tal a, b og c opfylder ligningen: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Ved at danne perfekte firkanter, hvordan viser du at a = 2b = c?

Svar:

# A = 2b = 3c # Se forklaringen og beviset nedenfor.

Forklaring:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Bemærk, at koefficienterne alle er ens med undtagelse af en ^ 2 dvs.: 3, omskrives som følger til gruppe for factoring:

# A ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (A ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Vi har en perfekt firkantet term plus to gange perfekt firkant med et andet udtryk, der er lig med nul, for dette er sandt, skal hver term af summen være lig med nul, så:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # og # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# A-2b = 0 # og # En-3c = 0 #

# A = 2b # og # A = 3c #

dermed:

# A = 2b = 3c #

Dermed bevist.