Hvad er kvadratroten af 89?

Svar:

Kvadratroden af #89# er et tal, som når kvadratisk giver #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Forklaring:

Siden #89# er prime, #sqrt (89) # kan ikke forenkles.

Du kan tilnærme det ved hjælp af en Newton Raphson-metode.

Jeg kan gerne omformulere det lidt som følger:

Lade #n = 89 # vær det nummer, du vil have kvadratroden til.

Vælge # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # så det # P_0 / q_0 # er en rimelig rationel tilnærmelse. Jeg har valgt disse særlige værdier siden #89# er omkring halvvejs mellem #9^2 = 81# og #10^2 = 100#.

Iterat ved hjælp af formlerne:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Dette vil give en bedre rationel tilnærmelse.

Så:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Så hvis vi stoppede her, ville vi få en tilnærmelse:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Lad os gå et skridt videre:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Så vi får en tilnærmelse:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Denne Newton Raphson-metode konvergerer hurtigt.

#COLOR (hvid) () #

Faktisk en ret god simpel tilnærmelse til #sqrt (89) # er #500/53#, siden #500^2 = 250000# og #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Hvis vi anvender et iterationstrin til dette, får vi en bedre tilnærmelse:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#COLOR (hvid) () #

Fodnote

Alle firkantede rødder med positive heltal har gentagne fortsatte fraktionstrækninger, som du også kan bruge til at give rationelle tilnærmelser.

Men i tilfælde af #sqrt (89) # den fortsatte fraktion ekspansion er lidt rodet så ikke så rart at arbejde med:

#sqrt (89) = 9; bøjle (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / + …))))))) #

Tilnærmelsen #500/53# ovenfor er #9; 2, 3, 3, 2#