Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (4, 7), (9, 5) og (5, 6)?

Svar:

#COLOR (blå) ((5/3, -7/3) #

Forklaring:

Orthocenteret er det punkt hvor de udvidede højder af en trekant møder. Dette vil være inde i trekanten, hvis trekanten er akut, uden for trekanten, hvis trekanten er stump. I tilfældet med den retvinklede trekant vil den være i hjørnet af den rigtige vinkel. (De to sider er hver højde).

Det er generelt lettere, at du gør en grov skitse af punkterne, så du ved, hvor du er.

Lade # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Da højderne går gennem et vinkel og er vinkelret på den modsatte side, har vi brug for at finde ligningerne af disse linjer. Det vil fremgå af definitionen, at vi kun skal finde to af disse linjer. Disse vil definere et unikt punkt. Det er ubetydeligt, hvilke du vælger.

Jeg vil bruge:

linje # AB # passerer gennem # C #

linje # AC # passerer gennem # B #

Til # AB #

Find først gradienten af dette linjesegment:

# M_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

En linje vinkelret på dette vil have en gradient, der er den negative gensidige af dette:

# M_2 = -1 / M_1 = -1 / (- 1) = 1 #

Dette går igennem # C #. Brug af punktskråning form af en linje:

# Y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4 1 #

Til # AC #

# M_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# M_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2 #

Passerer gennem # B #

# Y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 2 #

Krydset af #1# og #2# vil være orthocenteret:

Løsning samtidigt:

# 5 / 2x-13 / 2x + 4 = 0 => x = 5/3 #

Udbytter i #1#:

# Y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Bemærk, at orthocenteret er uden for trekanten, fordi det er urokkeligt. Højde linjer passerer gennem # C # og #EN# skal fremstilles ved D og E for at tillade dette.