Integration af 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Svar:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

Begynd med at faktorisere nævneren:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Nu kan vi gøre partielle fraktioner:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

Vi kan finde #EN# ved hjælp af cover-up-metoden:

# A = 1 / ((tekst (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Dernæst kan vi multiplicere begge sider af LHS nævneren:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Dette giver følgende ligninger:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 for #

Det betyder, at vi kan omskrive vores oprindelige integral:

(x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Det første integral kan gøres ved hjælp af en eksplicit u-substitution, men det er ret klart, at svaret er #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Vi kan dele det resterende integreret i to:

(x 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx)

Årsagen til trickery med multiplikationen og opdeling af #2# er at gøre venstre håndnævner lettere at bruge u-substitution på.

Jeg kalder den venstre integral Integral 1 og den rigtige integral Integral 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Da vi allerede har forberedt dette integral til substitution, er alt, hvad vi skal gøre, erstatning # U = x ^ 2-x + 1 #, og derivatet er # 2x-1 #, så vi deler derved med at integrere med hensyn til # U #:

#int annullere (2x-1) / (annuller (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Vi ønsker at få denne integreret i formularen:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

For at gøre dette skal vi færdiggøre pladsen til nævneren:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 for #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4)

Vi ønsker at introducere en u-substitution sådan at:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# X-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Vi multiplicerer med derivatet med hensyn til # U # at integrere med hensyn til # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Afslutter det oprindelige integral

Nu, da vi kender svaret på Integral 1 og Integral 2, kan vi sætte dem tilbage i det originale udtryk for at få vores sidste svar:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Svar:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int (x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #