Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (9, 7), (4, 4) og (8, 6) #?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Vi vil ringe til hjørnerne # A = (4,4) #, # B = (9,7) # og # C = (8,6) #.

Vi er nødt til at finde to ligninger, der er vinkelret på to sider og passerer gennem to af hjørnerne. Vi kan finde hældningen af to af siderne og dermed hældningen af de to vinkelrette linjer.

Hældning af AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Hældning vinkelret på dette:

#-5/3#

Dette skal passere gennem vertex C, så linjens ligning er:

# Y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Hældning af BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Hældning vinkelret på dette:

#-1#

Dette skal passere gennem vinkel A, så ligningen er:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Hvor 1 og 2 skærer er orthocenteret.

Løsning af 1 og 2 samtidigt:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x: 34/2 = 17 #

Brug af 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Fordi trekanten er stump, er orthocenteret uden for trekanten. Dette kan ses, hvis du forlænger højden linjer, indtil de krydser.

Svar:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Forklaring:

orthocenter

Givet # p_1, p_2, p_3 # og

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # sådan at

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Disse vektorer opnås let, for eksempel

# p_1 = (x_1, y_1) # og # p_2 = (x_2, y_2) # og så

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Nu har vi

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Disse tre linjer skærer i trekantens orthocenter

vælge # L_1, L_2 # vi har

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # eller

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

giver ligningerne

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Nu løses for # Lambda_1, lambda_2 # vi har

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

og så

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

Omkredsligningen er givet af

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

nu hvis # {p_1, p_2, p_3} i C # vi har

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):}

subtraherer den første fra den anden

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

subtraherer den første fra den tredje

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

giver systemet af ligninger

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) (x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Nu erstatter de givne værdier, vi kommer til

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Vedlagt et plot, der viser orthocenteret (rødt) og circumcentercenteret (blå).