Når du laver langrage multiplikatorer til calculus 3 ... lad os sige, at jeg allerede har fundet mine kritiske punkter, og jeg har en værdi fra det. hvordan ved jeg, om det er min eller max værdi?

Svar:

En mulig måde er Hessian (2nd Derivative Test)

Forklaring:

Typisk for at kontrollere, om de kritiske punkter er min eller max, vil du ofte bruge Second Derivative Test, som kræver, at du finder 4 partielle derivater under forudsætning af #F (x, y) #:

#F _ { "xx"} (x, y) #, #F _ { "xy"} (x, y) #, #F _ { "yx"} (x, y) #, og #F _ { "yy"} (x, y) #

Bemærk at hvis begge #F _ { "xy"} # og #F _ { "yx"} # er kontinuerlige i en region af interesse, de vil være lige.

Når du har defineret disse 4, kan du derefter bruge en specialmatrix kaldet Hessian for at finde determinanten af den matrix (som forvirrende nok ofte kaldes også den hessiske), som vil give dig nogle oplysninger om punktets karakter. Definer så Hessian Matrix som:

#H = | (f_ {"xx"} farve (hvid) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} farve (hvid) (, aa) f_ {yy}) | #

Når du har oprettet denne matrix (og det vil være en "funktion" matrix, da indholdet vil være funktioner af x og y), kan du derefter tage et af dine kritiske punkter og evaluere hele matrixdeterminanten. nemlig:

(x_0, y_0)) (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Afhængigt af resultaterne af denne beregning kan du lære karakteren af det kritiske punkt:

Hvis #H> 0 #, der er en min / max på det tidspunkt. Kontroller tegn på #F _ { "xx"} #. Hvis det er positivt, er punktet et min. Hvis det er negativt, er punktet et maksimum. (Dette er analogt med den "traditionelle" 2. derivat test for enkelt variable funktioner af x.)

Hvis #H <0 #, der er et sadpunkt på det tidspunkt.

Hvis #H = 0 #, testen er ubetinget, og du skal stole på andre måder, som en graf af funktionen til visuelt at bestemme.