Er der noget punkt (x, y) på kurven y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, hvor tangenten er parallel med x-aksen?

Svar:

Der er ikke noget sådant, så vidt min matematik går.

Forklaring:

Lad os først overveje betingelserne for tangenten, hvis den er parallel med #x#-akse. Siden #x#-aksen er vandret, og enhver linje parallelt med den skal også være vandret; så det følger, at tangentlinjen er vandret. Og selvfølgelig forekommer vandrette tangenter, når derivatet er lig med #0#.

Derfor skal vi først starte med at finde derivatet af denne monstrøse ligning, som kan opnås gennem implisitativ differentiering:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) LNX #

Ved hjælp af sumregeln, kæderegel, produktregel, kvotientregel og algebra har vi:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + LNX + 1 + y) / å #

# -> dy / dx = ((ylnx + LNX + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … det var intens. Nu sætter vi derivatet til #0# og se hvad der sker.

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (LNX + 1) = LNX + 1 #

#Y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

#Y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

# Y = -1 #

Interessant. Lad os nu tilslutte # Y = -1 # og se hvad vi får for #x#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Da dette er en modsigelse, konkluderer vi, at der ikke er nogen punkter, der opfylder denne betingelse.

Svar:

Der eksisterer ikke en sådan tangent.

Forklaring:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ækviv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Nu ringer #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # vi har

#df = f_x dx + f_y dy = (delvis u) / (delvis x) dx + (delvist v) / (delvist y) dy = 0 # derefter

/ dx = - ((delvis u) / (delvist x)) / ((delvist v) / (delvis y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) 2) / (1 + y + Log_e y)) #

Vi ser det # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # men disse værdier skal verificere:

#f (x, y_0) = 0 # og

#f (x_0, y) = 0 #

I det første tilfælde # y_0 = 1 # vi har

# x ^ x = -1 # som ikke kan nås i det virkelige domæne.

I det andet tilfælde # x_0 = e ^ {- 1} # vi har

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # eller

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

men

# y / (y + 1) log_e y> -1 # så ingen reel løsning også.

Afslutende, der er ikke sådan en tangent.

Svar:

Svaret fra Dr, Cawa K, x = 1 / e, er præcis.

Forklaring:

Jeg havde foreslået dette spørgsmål for at få denne værdi nøjagtigt. Tak til

Dr, Cawas for et afgørende svar, der godkender åbenbaringen, at

dobbelt præcision y 'forbliver 0 omkring dette interval. y er

kontinuerlig og differentierbar ved x = 1 / e. Som både 17-sd dobbelt

præcision y og y 'er 0, i dette interval omkring x = 1 / e, var det a

formodning om, at x-akse berører grafen imellem. Og nu er det

bevist. Jeg tror, at kontakten er transcendentalt..