To hjørner af en enslig trekant er ved (8, 3) og (5, 4). Hvis trekantens område er 15, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

#sqrt (10), 5sqrt (3.7), 5sqrt (3.7) ~ = 3.162,9.618,9.618 #

Forklaring:

Længden af den givne side er

# S = sqrt ((5-8) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) ~ = 3,162 #

Fra formlen i trekantenes område:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # H = 30 / sqrt (10) ~ = 9,487 #

Da figuren er en ensartet trekant, kunne vi have Sag 1, hvor basen er den singulære side, ilustreret af fig. (a) nedenfor

Eller vi kunne have Sag 2, hvor basen er en af de lige sider, ilustreret af fig. (b) og (c) nedenfor

Til dette problem er sag 1 altid gældende, fordi:

#tan (alfa / 2) = (a / 2) / h # => # H = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Men der er en betingelse, så sagen 2 finder anvendelse:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

Eller # h = bsin gamma #

Siden den højeste værdi af #sin beta # eller #sin gamma # er #1#, den højeste værdi af # H #, i sag 2 skal være # B #.

I det foreliggende problem er h længere end den side, som den er vinkelret på, så kun dette tilfælde gælder kun sag 1.

Løsning overvejer Sag 1 (Figur (a))

# B ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = (30 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = 900/10 + 10/4 = (900 + 25) / 10 = 925/10 # => # b = sqrt (92,5) = 5sqrt (3,7) ~ = 9,618 #