Hvad er quaternions?

Svar:

En slags nummer, for hvilket multiplikation ikke generelt er kommutativ.

Forklaring:

Rigtige tal (# RR #) kan repræsenteres af en linje - et endimensionelt rum.

Komplekse tal (# CC #) kan repræsenteres af et plan - et todimensionelt rum.

Quaternions (H) kan repræsenteres af et fire-dimensionelt rum.

I almindelige aritmetiske tal opfylder følgende regler:

Addition

Identitet: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Invers: #AA en EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

associativitet: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

kommutativitet: #AA a, b: a + b = b + a #

Multiplikation

Identitet: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Omvendt af ikke-nul: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

associativitet: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

kommutativitet: #farve (rød) (AA a, b: a * b = b * a) #

Sammen

distributivitet: # ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)),

#COLOR (hvid) () #

Disse regler arbejder for det sæt rationelle tal # QQ #, sæt Realnumre # RR # og de komplekse tal # CC # og definere hvad der hedder a Mark - et sæt udstyret med tilsætnings- og multiplikationsoperationer, der opfylder disse regler.

Quaternions (H) er hvad der hedder a skævt felt eller associativ division algebra - et sæt udstyret med tilsætning og multiplikation, der opfylder alle disse betingelser bortset fra multiplikationernes kommutativitet.

Vær også a #4# dimensionelle vektorrum over Reals, de er den største associative divisionalgebra over Reals, de eneste andre to er # RR # og # CC #.

Bortset fra den reelle akse kaldes enhederne på de andre tre akser #jeg#, # J # og # K #. De er alle firkantede rødder af #-1#.

Disse tre imaginære enheder opfylder følgende betingelser:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions kan repræsenteres af # 2xx2 # matricer med komplekse værdier eller af # 4xx4 # matricer med reelle værdier.

De har ansøgninger inden for mekanik og teoretisk fysik.

#COLOR (hvid) () #

Fodnote

Bemærk, at jeg sagde associativ division algebra. Bortset fra Quaternions er de lige fremmede Octonions, der formindsker kravet om multiplikation.