Vis at ligningen x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 har nøjagtig en løsning på [0, 1]?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Først og fremmest, lad os beregne #F (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # ved grænsen for vores domæne:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Hvis vi beregner derivatet

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Vi kan se, at det altid er positivt i #0,1#. Faktisk, # X ^ 2 + 1 # er altid positiv, og # 4x # er selvfølgelig positiv, da #x# er positiv.

Så starter vores funktion under #x# akse, siden #F (0) <0 #, og slutter over #x# akse, siden #F (1)> 0 #. Funktionen er et polynom, og så er det kontinuerligt.

Hvis en kontinuerlig linje starter under aksen og slutter over, betyder det, at den skal have krydset den et eller andet sted imellem. Og det faktum, at derivatet altid er positivt betyder, at funktionen altid vokser, og så kan den ikke krydse aksen to gange, dermed beviset.