Hvordan finder du hjørnet af en kvadratisk ligning?

Svar:

Brug formlen # -B / (2a) # for x-koordinaten og derefter tilslut den for at finde y.

Forklaring:

En kvadratisk ligning er skrevet som # Ax ^ 2 + bx + c # i sin standardformular. Og vertexet kan findes ved hjælp af formlen # -B / (2a) #.

Lad os f.eks. Antage, at vores problem er at finde ud af omkreds (x, y) for den kvadratiske ligning # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Vurder dine a, b og c værdier. I dette eksempel er a = 1, b = 2 og c = -3

2) Indsæt dine værdier i formlen # -B / (2a) #. I dette eksempel får du #-2/(2*1)# som kan forenkles til -1.

3) Du har lige fundet x-koordinaten på dit hjertepunkt! Indsæt nu -1 for x i ligningen for at finde ud af y-koordinaten.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Efter forenkling af ovenstående ligning får du: 1-2-3, som er lig med -4.

6) Dit endelige svar er (-1, -4)!

Håber det hjalp.

Svar:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # har et toppunkt på # (- (b) / (2a), - (b2-2-4ac) / (4a)) #

Forklaring:

Overvej et generelt kvadratisk udtryk:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

og dens tilhørende ligning #F (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Med rødder, # Alfa # og # Beta #.

Vi ved (ved symmetri - se nedenfor for bevis) at vertexet (enten maksimum eller minimum) er midtpunktet af de to rod, den #x#-koordinat af vertex er:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Men husk de godt studerede egenskaber:

# {: ("sum af rødder", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt af rødder", = alfa beta, = c / a)

Dermed:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Giver os:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b2) / (4a) - b2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b 2 - 4ac) / (4a) #

Dermed:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # har et toppunkt på # (- (b) / (2a), - (b2-2-4ac) / (4a)) #

Bevis for midtpunkt:

Hvis vi har

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Derefter differentierer wrt #x#:

# f '(x) = 2ax + b #

På et kritisk punkt er det første derivat, #F '(x) # forsvinder, hvilket kræver at:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED