En ensartet trekant har siderne A, B og C, hvor siderne B og C er ens i længden. Hvis side A går fra (7, 1) til (2, 9) og trekantens område er 32, hvad er de mulige koordinater for trekantets tredje hjørne?

Svar:

# (1825/178, 765/89) eller (-223/178, 125/89) #

Forklaring:

Vi relabel i standard notation: # b = c #, # A (x, y) #, #B (7,1), # #C (2,9) #. Vi har #text {område} = 32 #.

Basen af vores ensomme trekant er # BC #. Vi har

# A = | BC | = Sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} #

Midtpunktet af # BC # er #D = ((7 + 2) / 2, (1 + 9) / 2) = (9/2, 5) #. # BC #s vinkelret bisector går igennem # D # og vertex #EN#.

# H = AD # er en højde, som vi kommer fra området:

# 32 = frac 1 2 a h = 1/2 sqrt {89} h #

#h = 64 / sqrt {89} #

Retningsvektoren fra # B # til # C # er

# C-B = (2-7,9-1) = (- 5,8) #.

Retningsvektoren for dets perpendikulære er # P = (8,5) #, bytte koordinaterne og negere en. Dens størrelse skal også være # | P | = sqrt {89} #.

Vi skal gå # H # i begge retninger. Ideen er:

# A = D pm h P / | P | #

# A = (9 / 2,5) pm (64 / sqrt {89}) {(8,5)} / sqrt {89} #

# A = (9 / 2,5) pm 64/89 (8,5) #

#A = (9/2 + {8 (64)} / 89, 5 + {5 (64)} / 89) eller ##A = (9/2 - {8 (64)} / 89, 5 - {5 (64)} / 89) #

# A = (1825/178, 765/89) eller A = (-223/178, 125/89) #

Det er lidt rodet. Er det rigtigt? Lad os spørge Alpha.

Store! Alfa verificerer sine enscelder og området er #32.# Den anden #EN# er også rigtigt.